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%%文档的题目、作者与日期
%\author{2024级应用统计学、2024级数学与应用数学 }
\author{王立庆（2024级数学与应用数学1班） }
\title{高等代数二教学大纲 }
%\date{\vspace{-3ex}}
\renewcommand{\today}{\number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日}
%\date{2022 年 9 月 20 日}

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\begin{document}

\maketitle

\vspace{-0.5cm}

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\section*{时间地点}
\begin{itemize}\itemsep0em 
\item 上课时间地点：周二下午7-8节，六教210；周四上午3-4节，六教210.
\item 答疑时间地点：周三下午15:00 - 17:00, 周三晚上18:30 - 20:00, 一教210. 
\end{itemize}


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\section*{使用教材}
\begin{enumerate}\itemsep0em 
\item  北京大学数学系前代数小组，高等代数，高等教育出版社，2019年5月第五版。
\end{enumerate}

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%\section*{主要内容}
\section*{学习章节}
%\begin{enumerate}\itemsep0em 
\begin{itemize}\itemsep0em 

\item  第一章：多项式。%（三周）

\item  第六章：线性空间。%（四周）

\item  第七章：线性变换。%（四周）

\item  第九章：欧氏空间。%（四周）

\end{itemize}
%\end{enumerate}

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\section*{参考教材}
\begin{enumerate}\itemsep0em 
\item  张禾瑞、郝炳%鈵
新，高等代数，高等教育出版社，2007年6月第五版。
\item  同济大学数学系，高等代数与解析几何，高等教育出版社，2016年8月第二版。
\item  谢启鸿、姚慕生、吴泉水，高等代数学，复旦大学出版社，2022年12月第四版。
\item  陈志杰，高等代数与解析几何上下册，高等教育出版社，2008年12月第二版。
%\item  谢启鸿、姚慕生，高等代数 - 学习方法指导，复旦大学出版社，2022年12月第四版。
\item  丘维声，高等代数 - 大学高等代数课程创新教材上下册，清华大学出版社，2019年7月第二版。
\item  Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right. Fourth Edition. July 2024. 
\end{enumerate}

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\section*{课程成绩}
\begin{enumerate}
\item  平时成绩 50 \%.%, 包括课堂考勤、课外作业、阶段测验、章节学习、课程积分。
\begin{enumerate}
\itemsep0em 
%\item[1.1.] 课堂考勤10次，共20分。
%\item[1.2.] 课外作业10次，共30分。
%\item[1.3.] 阶段测验3次，共30分。
%\item[1.4.] 期中考试1次，共20分。
\item[1.1.] 章节学习8次，共20分。
\item[1.2.] 课外作业10次，共20分。
\item[1.1.] 课堂考勤10次，共20分。
\item[1.3.] 阶段测验4次，共20分。
\item[1.5.] 课程积分8次，共20分。
\end{enumerate}

\item  期末成绩 50 \%.%, 选择题、填空题、计算题和证明题。
%\begin{enumerate}
%\itemsep0em 
%\item[2.1.] 填空题10个，共20分。
%\item[2.2.] 计算题10个，共60分。
%\item[2.3.] 证明题2个，共20分。
%\end{enumerate}

\end{enumerate}

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\section*{授课计划}
 
 \begin{table}[ht!]\centering
\begin{tabular}{|p{0.6cm}|p{0.8cm}|p{6cm}|p{3cm}|p{1.6cm}|p{1.6cm}|}  \hline 
周&章节&内容&习题&布置作业&实践		\\ \hline \hline
1	&1.1	&数域		&&作业1&	\\ \hline
	&1.2	&一元多项式	&&&	\\ \hline
	&1.3	&整除的概念	&1,2,3,4&&	\\ \hline
	&1.4	&最大公因式	&5,6,7,8,9,10,11,12&&编程实践 	\\ \hline
2	&1.5	&因式分解定理	&13,14,15&作业2&	\\ \hline
	&1.6	&重因式		&16,17,18,19,20,21&& 	\\ \hline
	&1.7	&多项式函数	&22,23,24,25&&	\\ \hline
3	&1.8	&复系数与实系数多项式的因式分解	&26&& 	\\ \hline
	&1.9	&有理系数多项式	&27,28&&文献拓展	\\ \hline
	&&测验1	&&& \\ \hline\hline
4	&6.1	&集合与映射		&1,2&作业3& 	\\ \hline
	&6.2	&线性空间的定义与简单性质	&3,4,5,6&&	\\ \hline
5	&6.3	&维数、基与坐标	&7,8&作业4& 	\\ \hline
	&6.4	&基变换与坐标变换	&9,10&&	\\ \hline
6	&6.5	&线性子空间		&12,13,14,15,16&作业5& 	\\ \hline
	&6.6	&子空间的交与和	&17,18&&编程实践	\\ \hline
7	&6.7	&子空间的直和		&19,20,21,22&& 	\\ \hline
	&6.8	&线性空间的同构	&11&&	\\ \hline
	&&测验2	&&& \\ \hline\hline
8	&7.1	&线性变换的定义	&1&作业6& 	\\ \hline
	&7.2	&线性变换的运算	&2,3,4,5,6,10&&	\\ \hline
9	&7.3	&线性变换的矩阵	&7,8,9,11,12,13,15&作业7& 	\\ \hline
	&7.4	&特征值与特征向量	&19,24&&案例分析 	\\ \hline
10	&7.5	&对角矩阵		&16,17,18,20,21,22 &作业8& 	\\ \hline
	&7.6	&线性变换的值域与核	&14&&	\\ \hline
11	&7.7	&不变子空间		&23,25&& 	\\ \hline
	&7.8	&若尔当标准形介绍	&26&&	\\ \hline
	&7.9	&最小多项式		&27&& 	\\ \hline
	&&测验3	&&& \\ \hline\hline
12	&9.1	&欧氏空间的定义与基本性质	&1,2,3&作业9&	\\ \hline
	&9.2	&标准正交基		&4,5,6,7,8,9,11,12&&  \\ \hline
13	&9.3	&同构		&&作业10&	\\ \hline
	&9.4	&正交变换		&13,14,15&&案例分析 	\\ \hline
14	&9.5	&子空间		&10&& 	\\ \hline
	&9.6	&实对称矩阵的标准形	&16,17,18,19,20&& 	\\ \hline
15	&&测验4	&&& \\ \hline\hline
16	&&期末考试	&&& \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}


%\vspace{4cm}

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\section*{教学目标}

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\subsection*{第一章：多项式}
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|p{4cm}|p{10cm}|}  \hline 
章节 &标题 & 重点和难点 \\ \hline 
1.1	&数域&理解数域的概念。理解有理数域、实数域、复数域的含义。 
\newpage 举出无穷多个数域的例子。  	\\ \hline
1.2	&一元多项式	&理解系数在给定数域中的一元多项式环中的运算。	\\ \hline
1.3	&整除的概念	&证明一元多项式环的带余除法定理。
\newpage 证明整除的基本性质。	\\ \hline
1.4	&最大公因式	&使用辗转相除法计算两个多项式的最大公因式。
\newpage 证明两个多项式互素的充分必要条件。 
\newpage 编程实践：编程计算两个多项式的最大公因式。 \\ \hline
1.5	&因式分解定理	&理解不可约多项式的概念。
\newpage 证明因式分解的存在性和唯一性定理。	\\ \hline
1.6	&重因式		&使用导数多项式计算一个多项式的重因式。
\newline  证明多项式的$k$重因式是它的导数多项式的$k-1$重因式。 	\\ \hline
1.7	&多项式函数	&证明余数定理。理解单根和重根的含义。 	\\ \hline
1.8	&复系数与实系数多项式的因式分解	&写出不可约的复系数多项式。
\newline  写出不可约的实系数多项式。
\newline  在实数和复数范围内分解多项式。 	\\ \hline
1.9	&有理系数多项式	&理解本原多项式的概念，证明高斯引理。
\newline  使用艾森斯坦判别法判断有理系数多项式是否不可约。
\newline  计算整系数多项式的有理根。	
\newline  文献拓展：判断不可约多项式的其它方法。  \\ \hline

\end{tabular}

\subsection*{第六章：线性空间}
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|p{4cm}|p{10cm}|}  \hline 
章节 &标题 & 重点和难点 \\ \hline 
6.1	&集合与映射	&理解映射的像与原像的概念。
\newline 理解单射、满射与逆映射的概念。 	\\ \hline
6.2	&线性空间的定义与简单性质	&理解线性空间的概念。
\newline  理解线性空间的一些例子。
\newline  使用线性空间的公理，证明线性空间的基本性质。	\\ \hline
6.3	&维数、基与坐标	&理解线性无关、线性相关的向量组的概念。
\newline 理解线性空间的基的概念。
\newline 判断线性空间的一个向量组是否为基。计算线性空间的维数。
\newline 求向量在给定的基下的坐标。 	\\ \hline
6.4	&基变换与坐标变换	&计算从一个基到另一个基的过渡矩阵。
\newline 证明同一个向量在不同的基下的坐标之间的坐标变换公式。 \\ \hline
6.5	&线性子空间		&理解线性子空间的概念。
\newline 理解向量组生成的线性子空间的概念。 	
\newline 证明线性子空间的基总可以扩充为整个线性空间的基。 \\ \hline
6.6	&子空间的交与和	&理解两个线性子空间的交子空间与和子空间的概念。
\newline 计算交子空间与和子空间的基与维数。
\newline 证明和子空间的维数公式。	
\newline 编程实践：解析几何里的直线和平面的程序作图。	\\ \hline
6.7	&子空间的直和		&理解两个线性子空间的直和的概念。
\newline 证明和子空间是直和的两个充分必要条件。	\\ \hline
6.8	&线性空间的同构	&理解线性空间之间的同构映射的概念。
\newline 构造两个线性空间之间的同构。	\\ \hline
\end{tabular}


\subsection*{第七章：线性变换}
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|p{4cm}|p{10cm}|}  \hline 
章节 &标题 & 重点和难点 \\ \hline 
7.1	&线性变换的定义	&理解线性变换的概念。
\newline 理解单位变换、零变换、数乘变换的含义。
\newline 理解线性变换的一些其它例子。 	\\ \hline
7.2	&线性变换的运算	&理解将线性变换代入多项式的运算。
\newline 理解可逆线性变换的逆变换的概念。	\\ \hline
7.3	&线性变换的矩阵	&计算线性变换关于一个基的矩阵。
\newline 构造线性变换全体与矩阵全体之间的同构。 
\newline 证明线性变换关于不同的基的矩阵是相似的。\\ \hline
7.4	&特征值与特征向量	&理解线性变换的特征值与特征向量的概念。
\newline 计算矩阵的特征值与特征向量。
\newline 计算线性变换的特征值与特征向量。	
\newline 举例验证哈密顿-凯莱定理。
\newline 案例分析：矩阵及其特征值在图论中的应用。  \\ \hline
7.5	&对角矩阵		&证明线性变换关于适当的基的矩阵是对角阵的充分必要条件。
\newline 证明线性变换关于适当的基的矩阵是对角阵的充分条件。
\newline 证明属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
\newline 判断矩阵是否能够相似于对角阵。 	\\ \hline
7.6	&线性变换的值域与核	&计算线性变换的值域与核的基与维数。
\newline 证明有限维线性空间上的线性变换的秩与零度的和等于维数。	\\ \hline
7.7	&不变子空间		&理解线性变换的不变子空间的概念。
\newline 证明线性变换的不变子空间可以化简线性变换的矩阵。 	\\ \hline
7.8	&若尔当标准形介绍	&举例说明若尔当块和若尔当形矩阵。
\newline 举例说明矩阵的若尔当标准形。	\\ \hline
7.9	&最小多项式		&举例说明矩阵的最小多项式。 	\\ \hline
\end{tabular}

\subsection*{第九章：欧氏空间}
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|p{4cm}|p{10cm}|}  \hline 
章节 &标题 & 重点和难点 \\ \hline 
9.1	&欧氏空间的定义与基本性质	&理解欧氏空间的概念。
\newline 证明欧氏空间中的柯西不等式。
\newline 证明欧氏空间中的勾股定理。
\newline 证明欧氏空间的度量矩阵是正定的。 \\ \hline
9.2	&标准正交基	&使用施密特正交化方法从一个基得到一个标准正交基。
\newline 理解正交矩阵的概念。
\newline 证明两个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。 	\\ \hline
9.3	&同构		&理解欧氏空间之间的同构映射的概念。
\newline 构造两个欧氏空间之间的同构。	\\ \hline
9.4	&正交变换		&理解欧氏空间的正交变换的概念。
\newline 证明正交变换将标准正交基变成标准正交基。
\newline 证明正交变换关于标准正交基的矩阵是正交矩阵。
\newline 编程实践：解析几何里的空间旋转的程序作图。 	\\ \hline
9.5	&子空间		&计算欧氏空间中的向量在子空间中的内射影。
\newline 计算欧氏空间的子空间的正交补空间。 	\\ \hline
9.6	&实对称矩阵的标准形	&理解欧氏空间的对称变换的概念。
\newline 证明对称变换关于标准正交基的矩阵是对称矩阵。
\newline 证明实对称矩阵必定正交相似于对角矩阵。
\newline 将给定的实对称矩阵正交相似于对角矩阵。	\\ \hline
\end{tabular}


\end{document}


